2012 Putnam A4

Let $q$ and $r$ be integers with $q > 0$, and let $A$ and $B$ be intervals on the real line.

Let $T$ be the set of all $b+mq$ where $b$ and $m$ are integers with $b$ in $B$,

and let $S$ be the set of all integers $a$ in $A$ such that $ra$ is in $T$. Show that if the

product of the lengths of $A$ and $B$ is less than $q$, then $S$ is the intersection of $A$

with some arithmetic progression.

令$q$ 和$r$ 为$q > 0$ 的整数，并令$A$ 和$B$ 为实线上的间隔。

令$T$为所有$b+mq$的集合，其中$b$和$m$是整数，$b$在$B$中，

并令$S$ 为$A$ 中所有整数$a$ 的集合，使得$ra$ 位于$T$ 中。证明如果

$A$ 和 $B$ 的长度乘积小于 $q$，则 $S$ 是 $A$ 的交集

具有一定的算术级数。