2012 Putnam A5

Let $\FF_p$ denote the field of integers modulo a prime $p$, and let $n$ be a positive integer.

Let $v$ be a fixed vector in $\FF_p^n$, let $M$ be an $n \times n$ matrix with entries of $\FF_p$,

and define $G: \FF_p^n \to \FF_p^n$ by $G(x) = v + Mx$. Let $G^{(k)}$ denote the $k$-fold

composition of $G$ with itself, that is, $G^{(1)}(x) = G(x)$ and $G^{(k+1)}(x) = G(G^{(k)}(x))$.

Determine all pairs $p, n$ for which there exist $v$ and $M$ such that the $p^n$ vectors

$G^{(k)}(0)$, $k=1,2,\dots,p^n$ are distinct.

令 $\FF_p$ 表示以质数 $p$ 为模的整数域，并令 $n$ 为正整数。

令$v$为$\FF_p^n$中的固定向量，令$M$为$n \times n$矩阵，条目为$\FF_p$，

并通过 $G(x) = v + Mx$ 定义 $G: \FF_p^n \to \FF_p^n$。让$G^{(k)}$表示$k$折叠

$G$ 与其自身的组合，即 $G^{(1)}(x) = G(x)$ 和 $G^{(k+1)}(x) = G(G^{(k)}(x))$。

确定存在 $v$ 和 $M$ 的所有对 $p, n$，使得 $p^n$ 向量

$G^{(k)}(0)$, $k=1,2,\dots,p^n$ 是不同的。