题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2013.pdf。
Recall that a regular icosahedron is a convex polyhedron
having 12 vertices and 20 faces;
the faces are congruent equilateral triangles.
On each face of a regular icosahedron is written a nonnegative integer
such that the sum of all 20 integers is 39. Show that there are
two faces that share a vertex and have the same integer written on them.
回想一下，正二十面体是凸多面体
有12个顶点和20个面；
这些面是全等的等边三角形。
正二十面体的每个面上都写有一个非负整数
使得所有 20 个整数的和为 39。证明有
共享一个顶点并写有相同整数的两个面。
提示 1
先标出固定点、动点、角、圆和长度关系。
提示 2
尝试角追、相似、圆幂、面积比、反演或坐标化中的一种。
提示 3
把关键等式还原成标准定理，或补出一个让结构闭合的辅助点。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2013 年 Putnam A1 可先归入几何：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？