2013 Putnam B3

Let $\mathcal{P}$ be a nonempty collection of subsets of $\{1,\dots, n\}$ such that:

(i)
if $S, S' \in \mathcal{P}$, then $S \cup S' \in \mathcal{P}$ and $S \cap S' \in \mathcal{P}$, and

(ii)
if $S \in \mathcal{P}$ and $S \neq \emptyset$, then there is a subset $T \subset S$
such that $T \in \mathcal{P}$ and $T$ contains exactly one fewer element than $S$.

Suppose that $f: \mathcal{P} \to \mathbb{R}$ is a function such that

$f(\emptyset) = 0$ and

$$

f(S \cup S') = f(S) + f(S') - f(S \cap S') \mbox{ for all $S,S' \in \mathcal{P}$.}

$$

Must there exist real numbers $f_1,\dots,f_n$ such that

$$

f(S) = \sum_{i \in S} f_i

$$

for every $S \in \mathcal{P}$?

令 $\mathcal{P}$ 为 $\{1,\dots, n\}$ 子集的非空集合，使得：

(一)
如果 $S, S' \in \mathcal{P}$，则 $S \cup S' \in \mathcal{P}$ 和 $S \cap S' \in \mathcal{P}$，并且

(二)
如果$S \in \mathcal{P}$ 和$S \neq \emptyset$，则存在子集$T \subset S$
这样$T \in \mathcal{P}$ 和$T$ 所包含的元素就比$S$ 少一个。

假设 $f: \mathcal{P} \to \mathbb{R}$ 是一个函数，使得

$f(\emptyset) = 0$ 并且

$$

f(S \cup S') = f(S) + f(S') - f(S \cap S') \mbox{ 对于所有 $S,S' \in \mathcal{P}$.}

$$

必须存在实数 $f_1,\dots,f_n$ 使得

$$

f(S) = \sum_{i \in S} f_i

$$

对于每个 $S \in \mathcal{P}$？