题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2013.pdf。
For any continuous real-valued function defined on the interval , let
\begin{gather*}
\mu(f) = \int_0^1 f(x)\,dx, \,
\mathrm{Var}(f) = \int_0^1 (f(x) - \mu(f))^2\,dx, \\
M(f) = \max_{0 \leq x \leq 1} \left| f(x) \right|.
\end{gather*}
Show that if and are continuous real-valued functions
defined on the interval ,
then
$$
\mathrm{Var}(fg) \leq 2 \mathrm{Var}(f) M(g)^2 + 2 \mathrm{Var}(g) M(f)^2.
$$
对于定义在区间 上的任何连续实值函数 ，令
\开始{收集*}
\mu(f) = \int_0^1 f(x)\,dx, \,
\mathrm{Var}(f) = \int_0^1 (f(x) - \mu(f))^2\,dx, \\
M(f) = \max_{0 \leq x \leq 1} \left| f(x) \右|。
\结束{聚集*}
证明如果 和 是连续实值函数
定义在区间上，
然后
$$
\mathrm{Var}(fg) \leq 2 \mathrm{Var}(f) M(g)^2 + 2 \mathrm{Var}(g) M(f)^2。
$$
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2013 年 Putnam B4 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？