2015 Putnam A4

For each real number $x$, let

$$

f(x) = \sum_{n\in S_x} \frac{1}{2^n},

$$

where $S_x$ is the set of positive integers $n$ for which $\lfloor nx \rfloor$ is even. What is the largest real number $L$ such that $f(x) \geq L$ for all $x \in [0,1)$? (As usual, $\lfloor z \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $z$.)

对于每个实数 $x$，令

$$

f(x) = \sum_{n\in S_x} \frac{1}{2^n},

$$

其中 $S_x$ 是正整数 $n$ 的集合，其中 $\lfloor nx \rfloor$ 是偶数。对于所有 $x \in [0,1)$，$f(x) \geq L$ 的最大实数 $L$ 是多少？ (与往常一样，$\lfloor z \rfloor$ 表示小于或等于 $z$ 的最大整数。)