题面 Putnam · 2015 · P10
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题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2015.pdf。
Let be the set of all triples of positive integers for which there exist triangles with side lengths . Express
$$
\sum_{(a,b,c) \in T} \frac{2^a}{3^b 5^c}
$$
as a rational number in lowest terms.
令 为所有正整数三元组 的集合，其中存在边长为 的三角形。快递
$$
\sum_{(a,b,c) \in T} \frac{2^a}{3^b 5^c}
$$
作为最低限度的有理数。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先标出固定点、动点、角、圆和长度关系。
提示 2
尝试角追、相似、圆幂、面积比、反演或坐标化中的一种。
提示 3
把关键等式还原成标准定理，或补出一个让结构闭合的辅助点。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2015 年 Putnam B4 可先归入几何：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？