2019 Putnam A5

Let $p$ be an odd prime number, and let $\mathbb{F}_p$ denote the field of integers modulo $p$. Let $\mathbb{F}_p[x]$ be the ring of polynomials over $\mathbb{F}_p$, and let $q(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ be given by

$$

q(x) = \sum_{k=1}^{p-1} a_k x^k,

$$

where

$$

a_k = k^{(p-1)/2} \mod{p}.

$$

Find the greatest nonnegative integer $n$ such that $(x-1)^n$ divides $q(x)$ in $\mathbb{F}_p[x]$.

令$p$为奇素数，并令$\mathbb{F}_p$表示以$p$为模的整数域。设 $\mathbb{F}_p[x]$ 为 $\mathbb{F}_p$ 上的多项式环，并设 $q(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ 为

$$

q(x) = \sum_{k=1}^{p-1} a_k x^k,

$$

哪里

$$

a_k = k^{(p-1)/2} \mod{p}。

$$

找到最大的非负整数$n$，使得$(x-1)^n$ 除以$\mathbb{F}_p[x]$ 中的$q(x)$。