题面 Putnam · 2020 · P1
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2020.pdf。
How many positive integers satisfy all of the following three conditions?
(i) is divisible by 2020.
(ii) has at most 2020 decimal digits.
(iii) The decimal digits of are a string of consecutive ones followed by a string of consecutive zeros.
有多少个正整数 满足以下三个条件？
(i) 可以在 2020 年整除。
(ii) 最多有 2020 位小数。
(iii) 的十进制数字是一串连续的 1 后跟一串连续的 0。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2020 年 Putnam A1 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？