2020 Putnam B3

Let $x_0 = 1$, and let $\delta$ be some constant satisfying $0 < \delta < 1$. Iteratively, for $n=0,1,2,\dots$, a point $x_{n+1}$ is chosen uniformly from the interval $[0, x_n]$. Let $Z$ be the smallest value of $n$ for which $x_n < \delta$.

Find the expected value of $Z$, as a function of $\delta$.

令$x_0 = 1$，并令$\delta$ 为某个满足$0 < \delta < 1$ 的常数。迭代地，对于 $n=0,1,2,\dots$，从区间 $[0, x_n]$ 中均匀选择一个点 $x_{n+1}$。令 $Z$ 为 $n$ 的最小值，其中 $x_n < \delta$。

求 $Z$ 的期望值，作为 $\delta$ 的函数。