2021 Putnam B5

Say that an $n$-by-$n$ matrix $A = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ with integer entries is *very odd* if, for every nonempty subset $S$ of $\{1,2,\dots,n\}$, the $|S|$-by-$|S|$ submatrix $(a_{ij})_{i,j \in S}$ has odd determinant. Prove that if $A$ is very odd, then $A^k$ is very odd for every $k \geq 1$.

假设对于 $\{1,2,\dots,n\}$ 的每个非空子集 $S$，$|S|$-by-$|S|$ 子矩阵 $(a_{ij})_{i,j \in S}$ 具有奇数行列式，则表示具有整数项的 $n$-by-$n$ 矩阵 $A = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ *非常奇数*。证明如果 $A$ 非常奇数，那么对于每个 $k \geq 1$，$A^k$ 都是非常奇数。