2022 Putnam A3

Let $p$ be a prime number greater than 5. Let $f(p)$ denote the number of infinite sequences $a_1, a_2, a_3, \dots$ such that

$a_n \in \{1, 2, \dots, p-1\}$ and $a_n a_{n+2} \equiv 1 + a_{n+1} \pmod{p}$ for all $n \geq 1$. Prove that $f(p)$ is congruent to 0 or 2 $\pmod{5}$.

令 $p$ 为大于 5 的素数。令 $f(p)$ 表示无限序列 $a_1, a_2, a_3, \dots$ 的数量，使得

$a_n \in \{1, 2, \dots, p-1\}$ 和 $a_n a_{n+2} \equiv 1 + a_{n+1} \pmod{p}$ 对于所有 $n \geq 1$。证明 $f(p)$ 与 0 或 2 $\pmod{5}$ 全等。