题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2022.pdf。
Alice and Bob play a game on a board consisting of one row of 2022 consecutive squares. They take turns placing tiles that cover two adjacent squares, with Alice going first. By rule, a tile must not cover a square that is already covered by another tile. The game ends when no tile can be placed according to this rule. Alice's goal is to maximize the number of uncovered squares when the game ends; Bob's goal is to minimize it. What is the greatest number of uncovered squares that Alice can ensure at the end of the game, no matter how Bob plays?
Alice 和 Bob 在由一排 2022 个连续方格组成的棋盘上玩游戏。他们轮流放置覆盖两个相邻方块的瓷砖，爱丽丝先走。按照规则，一块瓷砖不能覆盖已经被另一块瓷砖覆盖的方格。当无法按照此规则放置棋子时，游戏结束。爱丽丝的目标是在游戏结束时最大化未覆盖方块的数量；鲍勃的目标是尽量减少这种情况。无论鲍勃如何玩，爱丽丝在游戏结束时最多能确保多少个未被覆盖的方格？
提示 1
先决定对象是什么：集合、图、排列、颜色、路径，还是一次操作后的状态。
提示 2
找一个极端对象、双计数式、不变量，或把限制转成图上的局部条件。
提示 3
把局部限制累加成全局矛盾，或给出覆盖全部情形的构造。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2022 年 Putnam A5 可先归入组合：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？