2024 Putnam A3

Let $S$ be the set of bijections

$$

T : \{1,2,3\} \times \{1,2,\dots,2024\} \to \{1,2,\dots,6072\}

$$

such that $T(1,j) < T(2,j) < T(3,j)$ for all $j \in \{1,2,\dots,2024\}$ and $T(i,j) < T(i,j+1)$ for all $i \in \{1,2,3\}$ and $j \in \{1,2,\dots,2023\}$. Do there exist $a$ and $c$ in $\{1,2,3\}$ and $b$ and $d$ in $\{1,2,\dots,2024\}$ such that the fraction of elements $T$ in $S$ for which $T(a,b) < T(c,d)$ is at least $1/3$ and at most $2/3$?

设 $S$ 为双射集合

$$

T : \{1,2,3\} \乘 \{1,2,\dots,2024\} \到 \{1,2,\dots,6072\}

$$

这样，对于所有 $j \in \{1,2,\dots,2024\}$ 而言，$T(1,j) < T(2,j) < T(3,j)$ 且对于所有 $i \in \{1,2,3\}$ 和 $j \in \{1,2,\dots,2023\}$ 而言，$T(i,j) < T(i,j+1)$。 $\{1,2,3\}$ 中是否存在 $a$ 和 $c$，$\{1,2,\dots,2024\}$ 中是否存在 $b$ 和 $d$，使得 $T(a,b) < T(c,d)$ 中元素 $T$ 在 $S$ 中的分数至少为 $1/3$，至多为 $2/3$？