2024 Putnam A6

Let $c_0,c_1,c_2,\dots$ be the sequence defined so that

$$

\frac{1-3x-\sqrt{1-14x+9x^2}}{4} = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k

$$

for sufficiently small $x$. For a positive integer $n$, let $A$ be the $n$-by-$n$ matrix with $i,j$-entry $c_{i+j-1}$ for $i$ and $j$ in $\{1,\dots,n\}$. Find the determinant of $A$.

令 $c_0,c_1,c_2,\dots$ 为定义的序列，以便

$$

\frac{1-3x-\sqrt{1-14x+9x^2}}{4} = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k

$$

对于足够小的$x$。对于正整数 $n$，令 $A$ 为 $n$-by-$n$ 矩阵，$i,j$ 条目 $c_{i+j-1}$ 表示 $i$ 和 $j$，位于 $\{1,\dots,n\}$ 中。求 $A$ 的行列式。