2025 Putnam A5

Let $n$ be an integer with $n \geq 2$. For a sequence $s = (s_1,\dots,s_{n-1})$ where each $s_i = \pm 1$, let $f(s)$ be the number of permutations $(a_1,\dots,a_n)$ of $\{1,2,\dots,n\}$ such that $s_i(a_{i+1}-a_i) > 0$ for all $i$. For each $n$, determine the sequences $s$ for which $f(s)$ is maximal.

设$n$ 为$n \geq 2$ 的整数。对于序列 $s = (s_1,\dots,s_{n-1})$，其中每个 $s_i = \pm 1$，令 $f(s)$ 为 $\{1,2,\dots,n\}$ 的排列 $(a_1,\dots,a_n)$ 的数量，使得所有 $i$ 的 $s_i(a_{i+1}-a_i) > 0$。对于每个 $n$，确定 $f(s)$ 最大的序列 $s$。