题面 USAMO · 1982 · P1
来源 context
题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
In a party with people, among any group of four there is at least one person who knows each of the other three. What is the minimum number of people in the party who know everyone else?
在一个由 1982 美元的人组成的聚会中，在任何四人小组中，至少有一个人认识其他三人。党内至少有多少人认识其他人？
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。
提示 2
试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。
提示 3
最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1982 年 USAMO P1 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？