题面 USAMO · 1983 · P1
来源 context
题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
On a given circle, six points , , , , , and are chosen at random, independently and uniformly with respect to arc length. Determine the probability that the two triangles and are disjoint, i.e., have no common points.
在给定的圆上，随机、独立且均匀地选择弧长六个点 、、、、 和 。确定两个三角形 和 不相交(即没有公共点)的概率。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先标出固定点、动点、角、圆和长度关系。
提示 2
尝试角追、相似、圆幂、面积比、反演或坐标化中的一种。
提示 3
把关键等式还原成标准定理，或补出一个让结构闭合的辅助点。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1983 年 USAMO P1 可先归入几何：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？