1986 USAMO 第 5 题

By a partition $\pi$ of an integer $n\ge 1,$ we mean here a representation of $n$ as a sum of one or more positive integers where the summands must be put in nondecreasing order. (E.g., if $n=4,$ then the partitions $\pi$ are $1+1+1+1,$ $1+1+2,$ $1+3, 2+2,$ and $4$).

For any partition $\pi,$ define $A(\pi)$ to be the number of $1$'s which appear in $\pi,$ and define $B(\pi)$ to be the number of distinct integers which appear in $\pi$ (E.g., if $n=13$ and $\pi$ is the partition $1+1+2+2+2+5,$ then $A(\pi)=2$ and $B(\pi) = 3$).

Prove that, for any fixed $n,$ the sum of $A(\pi)$ over all partitions of $\pi$ of $n$ is equal to the sum of $B(\pi)$ over all partitions of $\pi$ of $n.$

整数 $n\ge 1,$ 的分区 $\pi$ 是指 $n$ 表示为一个或多个正整数之和，其中被加数必须按非递减顺序排列。 (例如，如果 $n=4,$ 则分区 $\pi$ 为 $1+1+1+1、$ $1+1+2、$ $1+3、2+2、$ 和 $4$)。

对于任何分区 $\pi,$ 将 $A(\pi)$ 定义为 $\pi,$ 中出现的 $1$ 的数量，并将 $B(\pi)$ 定义为 $\pi$ 中出现的不同整数的数量(例如，如果 $n=13$ 且 $\pi$ 是分区 $1+1+2+2+2+5,$，则 $A(\pi)=2$ 且 $B(\pi) = 3$)。

证明，对于任何固定的 $n，$$n$的$\pi$的所有分区上的$A(\pi)$之和等于$n$的$\pi$的所有分区上的$B(\pi)$之和。$