1988 USAMO 第 5 题

Let $p(x)$ be the polynomial $(1-x)^a(1-x^2)^b(1-x^3)^c\cdots(1-x^{32})^k$, where $a, b, \cdots, k$ are integers. When expanded in powers of $x$, the coefficient of $x^1$ is $-2$ and the coefficients of $x^2$, $x^3$, ..., $x^{32}$ are all zero. Find $k$.

令 $p(x)$ 为多项式 $(1-x)^a(1-x^2)^b(1-x^3)^c\cdots(1-x^{32})^k$，其中 $a、b、\cdots、k$ 为整数。当按 $x$ 幂展开时，$x^1$ 的系数为 $-2$，$x^2$、$x^3$、...、$x^{32}$ 的系数均为零。找到$k$。