1993 USAMO 第 5 题

Let $a_0, a_1, a_2,\cdots$ be a sequence of positive real numbers satisfying $a_{i-1}a_{i+1}\le a^2_i$ for $i = 1, 2, 3,\cdots$ . (Such a sequence is said to be log concave.) Show that for each $n > 1$,

$$

\frac{a_0+\cdots+a_n}{n+1}\cdot\frac{a_1+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\ge\frac{a_0+\cdots+a_{n-1}}{n}\cdot\frac{a_1+\cdots+a_{n}}{n}.

$$

令 $a_0, a_1, a_2,\cdots$ 为满足 $a_{i-1}a_{i+1}\le a^2_i$ 的正实数序列，其中 $i = 1, 2, 3,\cdots$ 。 (这样的序列被认为是对数凹的。)证明对于每个 $n > 1$，

$$\frac{a_0+\cdots+a_n}{n+1}\cdot\frac{a_1+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\ge\frac{a_0+\cdots+a_{n-1}}{n}\cdot\frac{a_1+\cdots+a_{n}}{n}。$$