1996 USAMO 第 2 题

For any nonempty set $S$ of real numbers, let $\sigma(S)$ denote the sum of the elements of $S$. Given a set $A$ of $n$ positive integers, consider the collection of all distinct sums $\sigma(S)$ as $S$ ranges over the nonempty subsets of $A$. Prove that this collection of sums can be partitioned into $n$ classes so that in each class, the ratio of the largest sum to the smallest sum does not exceed 2.

对于任何非空实数集 $S$，令 $\sigma(S)$ 表示 $S$ 的元素之和。给定 $n$ 个正整数的集合 $A$，考虑所有不同总和 $\sigma(S)$ 的集合，因为 $S$ 范围在 $A$ 的非空子集上。证明这个总和的集合可以分为 $n$ 个类，以便在每个类中，最大和与最小和的比率不超过 2。