1997 USAMO 第 6 题

Suppose the sequence of nonnegative integers $a_1,a_2,...,a_{1997}$ satisfies

$$a_i+a_j \le a_{i+j} \le a_i+a_j+1$$

for all $i, j \ge 1$ with $i+j \le 1997$. Show that there exists a real number $x$ such that $a_n=\lfloor{nx}\rfloor$ (the greatest integer $\le nx$) for all $1 \le n \le 1997$.

假设非负整数序列 $a_1,a_2,...,a_{1997}$ 满足

$$a_i+a_j \le a_{i+j} \le a_i+a_j+1$$

对于所有 $i, j \ge 1$ 和 $i+j \le 1997$。证明对于所有 $1 \le n \le 1997$ 存在一个实数 $x$，使得 $a_n=\lfloor{nx}\rfloor$ (最大整数 $\le nx$)。