2000 USAMO 第 2 题

Let $S$ be the set of all triangles $ABC$ for which

$$5 \left( \dfrac{1}{AP} + \dfrac{1}{BQ} + \dfrac{1}{CR} \right) - \dfrac{3}{\min\{ AP, BQ, CR \}} = \dfrac{6}{r},$$

where $r$ is the inradius and $P, Q, R$ are the points of tangency of the incircle with sides $AB, BC, CA,$ respectively. Prove that all triangles in $S$ are isosceles and similar to one another.

令 $S$ 为所有三角形 $ABC$ 的集合，其中

$$5 \left( \dfrac{1}{AP} + \dfrac{1}{BQ} + \dfrac{1}{CR} \right) - \dfrac{3}{\min\{ AP, BQ, CR \}} = \dfrac{6}{r},$$

其中 $r$ 是内半径，$P、Q、R$ 分别是边 $AB、BC、CA、$ 的内切圆的切点。证明 $S$ 中的所有三角形都是等腰三角形并且彼此相似。