2001 USAMO 第 5 题

Let $S$ be a set of integers (not necessarily positive) such that

(a) there exist $a,b \in S$ with $\gcd(a,b) = \gcd(a - 2,b - 2) = 1$;

(b) if $x$ and $y$ are elements of $S$ (possibly equal), then $x^2 - y$ also belongs to $S$.

Prove that $S$ is the set of all integers.

令 $S$ 为一组整数(不一定是正数)，使得

(a) S$中存在$a,b \且 $\gcd(a,b) = \gcd(a - 2,b - 2) = 1$；

(b) 如果 $x$ 和 $y$ 是 $S$ 的元素(可能相等)，则 $x^2 - y$ 也属于 $S$。

证明 $S$ 是所有整数的集合。