题面 USAMO · 2002 · P3
来源 context
题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
Prove that any monic polynomial (a polynomial with leading coefficient 1) of degree with real coefficients is the average of two monic polynomials of degree with real roots.
证明任何具有实系数的 次多项式(首项系数为 1 的多项式)是两个具有 实根的 次多项式的平均值。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。
提示 2
试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。
提示 3
最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2002 年 USAMO P3 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？