2004 USAMO 第 2 题

Suppose $a_1, \dots, a_n$ are integers whose greatest common divisor is 1. Let $S$ be a set of integers with the following properties:

(a) For $i = 1, \dots, n$, $a_i \in S$.

(b) For $i,j = 1, \dots, n$ (not necessarily distinct), $a_i - a_j \in S$.

(c) For any integers $x,y \in S$, if $x + y \in S$, then $x - y \in S$.

Prove that $S$ must be equal to the set of all integers.

假设 $a_1, \dots, a_n$ 是最大公约数为 1 的整数。设 $S$ 是具有以下属性的一组整数：

(a) 对于 $i = 1，\dots, n$, $a_i \in S$。

(b) 对于 $i,j = 1, \dots, n$ (不一定不同)，$a_i - a_j \in S$。

(c) 对于任意整数$x,y \in S$，如果$x + y \in S$，则$x - y \in S$。

证明 $S$ 必须等于所有整数的集合。