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番外 · 题谱 · 2004 · P5

2004 USAMO 第 5 题

不等式 · P2/P5 · 中段题

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题面 USAMO · 2004 · P5
来源 context

题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

USAMO 2004 P5 inequality

Let aa, bb, and cc be positive real numbers. Prove that

(a5−a2+3)(b5−b2+3)(c5−c2+3)≥(a+b+c)3(a^5 - a^2 + 3)(b^5 - b^2 + 3)(c^5 - c^2 + 3) \ge (a+b+c)^3

.

令aa、bb 和cc 为正实数。证明

(a5−a2+3)(b5−b2+3)(c5−c2+3)≥(a+b+c)3(a^5 - a^2 + 3)(b^5 - b^2 + 3)(c^5 - c^2 + 3) \ge (a+b+c)^3

。

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。

提示 2

试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。

提示 3

最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。

解答 folded
完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2004 年 USAMO P5 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside
闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？