2005 USAMO 第 6 题

For $m$ a positive integer, let $s(m)$ be the sum of the digits of $m$. For $n\ge 2$, let $f(n)$ be the minimal $k$ for which there exists a set $S$ of $n$ positive integers such that $s\left(\sum_{x\in X} x\right) = k$ for any nonempty subset $X\subset S$. Prove that there are constants $0 < C_1 < C_2$ with

$$

C_1 \log_{10} n \le f(n) \le C_2 \log_{10} n.

$$

对于正整数 $m$，令 $s(m)$ 为 $m$ 的数字之和。对于 $n\ge 2$，令 $f(n)$ 为最小 $k$，其中存在 $n$ 个正整数的集合 $S$，使得对于任何非空子集 $X\subset S$，$s\left(\sum_{x\in X} x\right) = k$。证明存在常数 $0 < C_1 < C_2$

$$C_1 \log_{10} n \le f(n) \le C_2 \log_{10} n。$$