2006 USAMO 第 1 题

Let $p$ be a prime number and let $s$ be an integer with $0 < s < p$. Prove that there exist integers $m$ and $n$ with $0 < m < n < p$ and

$$\left\{ \frac{sm}{p} \right\} < \left\{ \frac{sn}{p} \right\} < \frac{s}{p}$$

if and only if $s$ is not a divisor of $p-1$.

Note: For $x$ a real number, let $\lfloor x \rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $x$, and let $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ denote the fractional part of $x$.

设 $p$ 为素数，$s$ 为整数且 $0 < s < p$。证明存在整数 $m$ 和 $n$ 且 $0 < m < n < p$ 且

$$\left\{ \frac{sm}{p} \right\} < \left\{ \frac{sn}{p} \right\} < \frac{s}{p}$$

当且仅当 $s$ 不是 $p-1$ 的约数。

注：对于 $x$ 为实数，设 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数，设 $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ 表示 $x$ 的小数部分。