2006 USAMO 第 3 题

For integral $m$, let $p(m)$ be the greatest prime divisor of $m$. By convention, we set $p(\pm 1)=1$ and $p(0)=\infty$. Find all polynomials $f$ with integer coefficients such that the sequence $\{ p(f(n^2))-2n) \}_{n \in \mathbb{Z} \ge 0}$ is bounded above. (In particular, this requires $f(n^2)\neq 0$ for $n\ge 0$.)

对于积分 $m$，令 $p(m)$ 为 $m$ 的最大素因数。按照惯例，我们设置 $p(\pm 1)=1$ 和 $p(0)=\infty$。找到所有具有整数系数的多项式 $f$，使得序列 $\{ p(f(n^2))-2n) \}_{n \in \mathbb{Z} \ge 0}$ 在上面有界。 (特别是，这需要 $f(n^2)\neq 0$ for $n\ge 0$。)