2009 USAMO 第 1 题

Given circles $\omega_1$ and $\omega_2$ intersecting at points $X$ and $Y$, let $\ell_1$ be a line through the center of $\omega_1$ intersecting $\omega_2$ at points $P$ and $Q$ and let $\ell_2$ be a line through the center of $\omega_2$ intersecting $\omega_1$ at points $R$ and $S$. Prove that if $P, Q, R$ and $S$ lie on a circle then the center of this circle lies on line $XY$.

给定圆 $\omega_1$ 和 $\omega_2$ 在点 $X$ 和 $Y$ 处相交，设 $\ell_1$ 为通过 $\omega_1$ 中心与 $\omega_2$ 相交于点 $P$ 和 $Q$ 的直线，令 $\ell_2$ 为通过 $\omega_2$ 中心与 $\omega_1$ 相交于点 $R$ 和 $S$ 的直线。证明如果 $P、Q、R$ 和 $S$ 位于一个圆上，则该圆的中心位于线 $XY$ 上。