2010 USAMO 第 4 题

Let $ABC$ be a triangle with $\angle A = 90^{\circ}$. Points $D$ and $E$ lie on sides $AC$ and $AB$, respectively, such that $\angle ABD = \angle DBC$ and $\angle ACE = \angle ECB$. Segments $BD$ and $CE$ meet at $I$. Determine whether or not it is possible for segments $AB, AC, BI, ID, CI, IE$ to all have integer lengths.

设 $ABC$ 为三角形，$\angle A = 90^{\circ}$。点 $D$ 和 $E$ 分别位于边 $AC$ 和 $AB$ 上，使得 $\angle ABD = \angle DBC$ 和 $\angle ACE = \angle ECB$。段 $BD$ 和 $CE$ 在 $I$ 汇合。确定段 $AB、AC、BI、ID、CI、IE$ 是否都可以具有整数长度。