2013 USAMO 第 6 题

Let $ABC$ be a triangle. Find all points $P$ on segment $BC$ satisfying the following property: If $X$ and $Y$ are the intersections of line $PA$ with the common external tangent lines of the circumcircles of triangles $PAB$ and $PAC$, then

$$

\left(\frac{PA}{XY}\right)^2+\frac{PB\cdot PC}{AB\cdot AC}=1.

$$

设 $ABC$ 为三角形。查找线段 $BC$ 上满足以下性质的所有点 $P$：如果 $X$ 和 $Y$ 是线 $PA$ 与三角形 $PAB$ 和 $PAC$ 外接圆的公共外切线的交点，则

$$\left(\frac{PA}{XY}\right)^2+\frac{PB\cdot PC}{AB\cdot AC}=1。$$