2016 USAMO 第 4 题

Find all functions $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ such that for all real numbers $x$ and $y$,

$$

(f(x)+xy)\cdot f(x-3y)+(f(y)+xy)\cdot f(3x-y)=(f(x+y))^2.

$$

找到所有函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 使得对于所有实数 $x$ 和 $y$，

$$(f(x)+xy)\cdot f(x-3y)+(f(y)+xy)\cdot f(3x-y)=(f(x+y))^2。$$