2018 USAMO 第 4 题

Let $p$ be a prime, and let $a_1, \dots, a_p$ be integers. Show that there exists an integer $k$ such that the numbers

$$a_1 + k, a_2 + 2k, \dots, a_p + pk$$

produce at least $\tfrac{1}{2} p$ distinct remainders upon division by $p$.

设$p$为素数，设$a_1、\dots、a_p$为整数。证明存在一个整数 $k$ 使得数字

$$a_1 + k, a_2 + 2k, \dots, a_p + pk$$

除以 $p$ 后至少产生 $\tfrac{1}{2} p$ 不同的余数。