2019 USAMO 第 1 题

Let $\mathbb{N}$ be the set of positive integers. A function $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ satisfies the equation

$$\underbrace{f(f(\ldots f}_{f(n)\text{ times}}(n)\ldots))=\frac{n^2}{f(f(n))}$$

for all positive integers $n$. Given this information, determine all possible values of $f(1000)$.

令 $\mathbb{N}$ 为正整数集合。函数 $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ 满足方程

$$

\underbrace{f(f(\ldots f}_{f(n)\text{ 次}}(n)\ldots))=\frac{n^2}{f(f(n))}

$$

对于所有正整数 $n$。根据此信息，确定 $f(1000)$ 的所有可能值。