2020 USAMO 第 5 题

A finite set $S$ of points in the coordinate plane is called overdetermined if $|S| \ge 2$ and there exists a nonzero polynomial $P(t)$, with real coefficients and of degree at most $|S| - 2$, satisfying $P(x) = y$ for every point $(x, y) \in S$.

For each integer $n \ge 2$, find the largest integer $k$ (in terms of $n$) such that there exists a set of $n$ distinct points that is not overdetermined, but has $k$ overdetermined subsets.

坐标平面中点的有限集 $S$ 被称为超定的，如果 $|S| \ge 2$ 并且存在一个非零多项式 $P(t)$，其系数为实数且次数最多为 $|S| - 2$，对于 S$中的每个点$(x, y) 满足 $P(x) = y$。

对于每个整数 $n \ge 2$，找到最大整数 $k$(以 $n$ 表示)，使得存在一组 $n$ 个不同点，这些点不是超定的，但具有 $k$ 超定子集。