2023 USAMO 第 6 题

Let ABC be a triangle with incenter $I$ and excenters $I_a$, $I_b$, $I_c$ opposite $A$, $B$, and $C$, respectively. Given an arbitrary point $D$ on the circumcircle of $\triangle ABC$ that does not lie on any of the lines $II_{a}$, $I_{b}I_{c}$, or $BC$, suppose the circumcircles of $\triangle DIIa$ and $\triangle DI_bI_c$ intersect at two distinct points $D$ and $F$. If $E$ is the intersection of lines $DF$ and $BC$, prove that $\angle BAD = \angle EAC$.

设 ABC 是一个三角形，其内心为 $I$，外心为 $I_a$、$I_b$、$I_c$，分别与 $A$、$B$ 和 $C$ 相对。给定 $\triangle ABC$ 外接圆上的任意点 $D$，且该点不位于 $II_{a}$、$I_{b}I_{c}$ 或 $BC$ 任何一条直线上，假设 $\triangle DIIa$ 和 $\triangle DI_bI_c$ 的外接圆在两个不同的点 $D$ 和 $F$ 处相交。如果$E$是线$DF$和$BC$的交点，证明$\angle BAD = \angle EAC$。