2024 USAMO 第 6 题

Continued

Let $n>2$ be an integer and let $\ell \in\{1,2, \ldots, n\}$. A collection $A_1, \ldots, A_k$ of (not necessarily distinct) subsets of $\{1,2, \ldots, n\}$ is called $\ell$-large if $\left|A_i\right| \geq \ell$ for all $1 \leq i \leq k$. Find, in terms of $n$ and $\ell$, the largest real number $c$ such that the inequality

$$\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k x_i x_j \frac{\left|A_i \cap A_j\right|^2}{\left|A_i\right| \cdot\left|A_j\right|} \geq c\left(\sum_{i=1}^k x_i\right)^2$$

holds for all positive integers $k$, all nonnegative real numbers $x_1, \ldots, x_k$, and all $\ell$-large collections $A_1, \ldots, A_k$ of subsets of $\{1,2, \ldots, n\}$. Note: For a finite set $S,|S|$ denotes the number of elements in $S$.

续

设 $n>2$ 为整数，并设 $\ell \in\{1,2, \ldots, n\}$。 $\{1,2, \ldots, n\}$ 的(不一定不同)子集的集合 $A_1, \ldots, A_k$ 被称为 $\ell$-large 如果 $\left|A_i\right| \geq \ell$ 对于所有 $1 \leq i \leq k$。根据 $n$ 和 $\ell$ 找到最大实数 $c$，使得不等式

$$\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k x_i x_j \frac{\left|A_i \cap A_j\right|^2}{\left|A_i\right| \cdot\left|A_j\right|} \geq c\left(\sum_{i=1}^k x_i\right)^2$$

适用于所有正整数 $k$、所有非负实数 $x_1、\ldots、x_k$ 以及 $\{1,2、\ldots、n\}$ 子集的所有 $\ell$ 大集合 $A_1、\ldots、A_k$。注：对于有限集$S，|S|$表示$S$中元素的数量。