1996 APMO 第 2 题

Let $ABCD$ be a quadrilateral $AB = BC = CD = DA$ . Let $MN$ and $PQ$ be two segments perpendicular to the diagonal $BD$ and such that the distance between them is $d > \frac{BD}{2}$ , with $M \in AD$ , $N \in DC$ , $P \in AB$ , and $Q \in BC$ . Show that the perimeter of hexagon $AMNCQP$ does not depend on the position of $MN$ and $PQ$ so long as the distance between them remains constant.

设 $ABCD$ 为四边形 $AB = BC = CD = DA$ 。令 $MN$ 和 $PQ$ 为垂直于对角线 $BD$ 的两条线段，并且它们之间的距离为 $d > \frac{BD}{2}$ ，其中 $M \in AD$ 、 $N \in DC$ 、 $P \in AB$ 和 $Q \in BC$ 。证明六边形 $AMNCQP$ 的周长不依赖于 $MN$ 和 $PQ$ 的位置，只要它们之间的距离保持不变。