题面 APMO · 2001 · P5
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题面据 APMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
A point in the plane with a cartesian coordinate system is called a *mixed point* if one of its coordinates is rational and the other one is irrational. Find all polynomials with real coefficients such that their graphs do not contain any mixed point.
如果笛卡尔坐标系平面上的一个点的一个坐标是有理数，另一个坐标是无理数，则该点称为“混合点”。找到所有具有实数系数的多项式，使得它们的图形不包含任何混合点。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先决定对象是什么：集合、图、排列、颜色、路径，还是一次操作后的状态。
提示 2
找一个极端对象、双计数式、不变量，或把限制转成图上的局部条件。
提示 3
把局部限制累加成全局矛盾，或给出覆盖全部情形的构造。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2001 年 APMO P5 可先归入组合：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？