2003 APMO 第 4 题

Let $a, b, c$ be the sides of a triangle, with $a+b+c=1$, and let $n \geq 2$ be an integer. Show that

$$

\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}+\sqrt[n]{b^{n}+c^{n}}+\sqrt[n]{c^{n}+a^{n}}<1+\frac{\sqrt[n]{2}}{2}

$$

令 $a, b, c$ 为三角形的边，其中 $a+b+c=1$，并令 $n \geq 2$ 为整数。表明

$$\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}+\sqrt[n]{b^{n}+c^{n}}+\sqrt[n]{c^{n}+a^{n}}<1+\frac{\sqrt[n]{2}}{2}$$