2007 APMO 第 3 题

Consider $n$ disks $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}$ in a plane such that for each $1 \leq i<n$, the center of $C_{i}$ is on the circumference of $C_{i+1}$, and the center of $C_{n}$ is on the circumference of $C_{1}$. Define the score of such an arrangement of $n$ disks to be the number of pairs $(i, j)$ for which $C_{i}$ properly contains $C_{j}$. Determine the maximum possible score.

考虑平面上的 $n$ 个圆盘 $C_{1}、C_{2}、\ldots、C_{n}$，对于每个 $1 \leq i<n$，$C_{i}$ 的中心位于 $C_{i+1}$ 的圆周上，$C_{n}$ 的中心位于 $C_{1}$ 的圆周上。将 $n$ 个磁盘的这种排列的分数定义为 $C_{i}$ 正确包含 $C_{j}$ 的对 $(i, j)$ 的数量。确定可能的最大分数。