2011 APMO 第 3 题

Let $ABC$ be an acute triangle with $\angle BAC=30^{\circ}$ . The internal and external angle bisectors of $\angle ABC$ meet the line $AC$ at $B_1$ and $B_2$ , respectively, and the internal and external angle bisectors of $\angle ACB$ meet the line $AB$ at $C_1$ and $C_2$ , respectively. Suppose that the circles with diameters $B_1B_2$ and $C_1C_2$ meet inside the triangle $ABC$ at point $P$ . Prove that $\angle BPC=90^{\circ}$ .

设 $ABC$ 为锐角三角形，$\angle BAC=30^{\circ}$ 。 $\angle ABC$ 的内角平分线和外角平分线分别在 $B_1$ 和 $B_2$ 处与线 $AC$ 相交，$\angle ACB$ 的内角平分线和外角平分线分别在 $C_1$ 和 $C_2$ 处与线 $AB$ 相交。假设直径为 $B_1B_2$ 和 $C_1C_2$ 的圆在三角形 $ABC$ 内相交于点 $P$ 。证明 $\angle BPC=90^{\circ}$ 。