2017 APMO 第 1 题

We call a 5-tuple of integers arrangeable if its elements can be labeled $a$, $b, c, d, e$ in some order so that $a-b+c-d+e=29$. Determine all 2017-tuples of integers $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{2017}$ such that if we place them in a circle in clockwise order, then any 5 -tuple of numbers in consecutive positions on the circle is arrangeable.

Answer: $n_{1}=\cdots=n_{2017}=29$.

如果一个整数 5 元组的元素可以按某种顺序标记为 $a$、$b、c、d、e$，使得 $a-b+c-d+e=29$，则我们称该整数 5 元组为可排列的。确定整数 $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{2017}$ 的所有 2017 元组，这样如果我们将它们按顺时针顺序放在一个圆中，则圆上连续位置上的任何数字的 5 元组都是可排列的。

答案：$n_{1}=\cdots=n_{2017}=29$。