2018 APMO 第 1 题

Let $H$ be the orthocenter of the triangle $A B C$. Let $M$ and $N$ be the midpoints of the sides $A B$ and $A C$, respectively. Assume that $H$ lies inside the quadrilateral $B M N C$ and that the circumcircles of triangles $B M H$ and $C N H$ are tangent to each other. The line through $H$ parallel to $B C$ intersects the circumcircles of the triangles $B M H$ and $C N H$ in the points $K$ and $L$, respectively. Let $F$ be the intersection point of $M K$ and $N L$ and let $J$ be the incenter of triangle $M H N$. Prove that $F J=F A$.

令 $H$ 为三角形 $A B C$ 的重心。令 $M$ 和 $N$ 分别为边 $A B$ 和 $A C$ 的中点。假设 $H$ 位于四边形 $B M N C$ 内部，并且三角形 $B M H$ 和 $C N H$ 的外接圆彼此相切。通过 $H$ 与 $B C$ 平行的线分别与三角形 $B M H$ 和 $C N H$ 的外接圆相交于点 $K$ 和 $L$。令$F$ 为$M K$ 和$N L$ 的交点，并令$J$ 为三角形$M H N$ 的内心。证明 $F J=F A$。