2024 APMO 第 5 题

Line $\ell$ intersects sides $B C$ and $A D$ of cyclic quadrilateral $A B C D$ in its interior points $R$ and $S$ respectively, and intersects ray $D C$ beyond point $C$ at $Q$, and ray $B A$ beyond point $A$ at $P$. Circumcircles of the triangles $Q C R$ and $Q D S$ intersect at $N \neq Q$, while circumcircles of the triangles $P A S$ and $P B R$ intersect at $M \neq P$. Let lines $M P$ and $N Q$ meet at point $X$, lines $A B$ and $C D$ meet at point $K$ and lines $B C$ and $A D$ meet at point $L$. Prove that point $X$ lies on line $K L$.

线$\ell$分别与循环四边形$A B C D$的边$B C$和$A D$相交于其内点$R$和$S$，并与点$C$之外的射线$D C$相交于$Q$，与点$A$之外的射线$B A$相交于$P$。三角形$Q C R$ 和$Q D S$ 的外接圆相交于$N \neq Q$，而三角形$P A S$ 和$P B R$ 的外接圆相交于$M \neq P$。让线$M P$ 和$N Q$ 在点$X$ 相交，线$A B$ 和$C D$ 在点$K$ 相交，线$B C$ 和$A D$ 在点$L$ 相交。证明点 $X$ 位于线 $K L$ 上。