2025 APMO 第 1 题

Let $A B C$ be an acute triangle inscribed in a circle $\Gamma$ . Let $A_{1}$ be the orthogonal projection of $A$ onto $B C$ so that $A A_{1}$ is an altitude. Let $B_{1}$ and $C_{1}$ be the orthogonal projections of $A_{1}$ onto $A B$ and $A C$ , respectively. Point $P$ is such that quadrilateral $A B_{1}P C_{1}$ is convex and has the same area as triangle $A B C$ . Is it possible that $P$ strictly lies in the interior of circle $\Gamma$ ? Justify your answer.

Answer: No.

令 $A B C$ 为内切于圆 $\Gamma$ 的锐角三角形。令 $A_{1}$ 为 $A$ 在 $B C$ 上的正交投影，因此 $A A_{1}$ 为海拔高度。令 $B_{1}$ 和 $C_{1}$ 分别为 $A_{1}$ 在 $A B$ 和 $A C$ 上的正交投影。点 $P$ 使得四边形 $A B_{1}P C_{1}$ 是凸的，并且与三角形 $A B C$ 具有相同的面积。 $P$ 是否可能严格位于圆 $\Gamma$ 的内部？证明你的答案合理。

答：不。