2004 CMO 第 1 题

For a given positive integer $n\ge 2$ , suppose positive integers $a_i$ where $1\le i\le n$ satisfy $a_1<a_2<\ldots <a_n$ and $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\le 1$ . Prove that, for any real number $x$ , the following inequality holds
$$\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i^2+x^2}\right)^2\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a_1(a_1-1)+x^2}$$

*Li Shenghong*

对于给定的正整数 $n\ge 2$ ，假设正整数 $a_i$ ，其中 $1\le i\le n$ 满足 $a_1<a_2<\ldots <a_n$ 和 $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\le 1$ 。证明，对于任何实数 $x$ ，以下不等式成立

$$\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i^2+x^2}\right)^2\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a_1(a_1-1)+x^2}$$

*李胜红*